Question

设不等式组所表示的平面区域为，记内的整点（横坐标、纵坐标为整数的点）的个数是.
(1)求a₁，a₂的值及数列的通项公式；
(2)设，设为数列的前n项和，求；
(3)设，求证：

Answer 1

由题意得：，一般地，当，，记直线为，与直线的交点纵坐标分别为，则，，数列的通项公式为.
（2）由（1）知，,用错位相减法得

（3）由（1）知，，欲证，即证，
方法1：，
，
方法：数学归纳法：先证右边当，显然成立；
命题成立，即，当时，左边
右边.
综合，当，命题右边成立。
再证左边
当，显然成立；
命题成立，即，
当时，右边
左边.
综合，当，命题左边成立.
即当，命题成立.