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若函数y=f(x)在x=x0处取得极大值或极小值,则称x0为函数y=f(x)的极值点。已知a,b是实数,1和-1是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点。
(1)求a和b的值;
(2)设函数g(x)的导函数g′(x)=f(x)+2,求g(x)的极值点;
(3)设h(x)=f(f(x))-c,其中c∈[-2,2],求函数y=h(x)的零点个数。
解:(1)由 f(x)=x3+ax2+bx,得 f′(x)=3x2+2ax+b
∵1和-1是函数f(x)的两个极值点,
∴f′(1)=3-2a+b=0,f′(-1)=3+2a+b=0,解得a=0,b=-3。
(2)由(1)得,f(x)=x3-3x,
∴g′(x)=f(x)+2=x3-3x+2=(x-1)2(x+2)=0,
解得x1=x2=1,x3=-2
∵当x<-2时,g′(x)<0;
当-2<x<1时,g′(x)>0,
∴-2是g(x)的极值点
∵当-2<x<1或x>1时,g′(x)>0,
∴1不是g(x) 的极值点
∴g(x)的极值点是-2。
(3)令f(x)=t,则h(x)=f(t)-c
先讨论关于x的方程f(x)=d根的情况,d∈[-2,2]
当|d|=2时,由(2 )可知,f(x)=-2的两个不同的根为1和-2,
注意到f(x)是奇函数,
∴f(x)=2的两个不同的根为-1和2
当|d|<2时,∵f(-1)-d=f(2)-d=2-d>0,f(1)-d=f(-2)-d=-2-d<0,
∴-2,-1,1,2 都不是f(x)=d 的根
由(1)知,f′(x)=3(x+1)(x-1)
①当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,于是f(x)是单调增函数,
从而f(x)>f(2)=2
此时f(x)=d在(2,+∞)无实根
②当x∈(1,2)时,f′(x)>0,于是f(x)是单调增函数
又∵f(1)-d<0,f(2)-d>0,y=f(x)-d的图象不间断,
∴f(x)=d在(1,2 )内有唯一实根
同理,在(-2,-I1)内有唯一实根
③当x∈(-1,1)时,f′(x)<0,于是f(x)是单调减函数
又∵f(1)-d>0,f(2)-d<0,y=f(x)-d的图象不间断,
∴f(x)=d在(-1,1 )内有唯一实根
因此,当|d|=2 时,f(x)=d 有两个不同的根 x1,x2,满足|x1|=1,|x2|=2;
当|d|<2时,f(x)=d 有三个不同的根x3,x4,x5,满足|xi|<2,i=3,4,5
现考虑函数y=h(x)的零点:
( i )当|c|=2时,f(t)=c有两个根t1,t2,满足|t1|=1,|t2|=2
而f(x)=t1有三个不同的根,f(x)=t2有两个不同的根,
故y=h(x)有5 个零点。
( i i  )当|c|<2时,f(t)=c有三个不同的根t3,t4,t5,满足|ti|<2,i=3,4,5
而f(x)=ti有三个不同的根,故y=h(x)有9个零点
综上所述,当|c|=2时,函数y=h(x)有5个零点;
当|c|<2时,函数y=h(x)有9 个零点。
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t
a3
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y
a3
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38
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