Question

已知函数f（x）=x²-2x，g（x）=ax+2，其中a＞0．
（Ⅰ）对?x∈[-1，2]，有f（x）＜g（x）+2成立，求正数a的取值范围．
（Ⅱ）对?x₁∈[-1，2]，?x₀∈[-1，2]，使g（x₁）=f（x₀），求正数a的取值范围．

Answer 1

解：（I）由题意，h（x）=f（x）-g（x）-2=x²-（2+a）x-4＜0对任意x∈[-1，2]恒成立，
只需成立，故0＜a＜1．
（II）当a＞0时，g（x）=ax+2在[-1，2]上的值域A=[2-a，2+2a]，
f（x）=x²-2x在[-1，2]上的值域B=[-1，3]，
由题意，A⊆B，得．
分析：（I）根据对?x∈[-1，2]，有f（x）＜g（x）+2成立，即h（x）=f（x）-g（x）-2=x²-（2+a）x-4＜0对任意x∈[-1，2]恒成立，只需成立，解此不等式组即可求得正数a的取值范围；
（Ⅱ）先求出两个函数在[-1，2]上的值域分别为A、B，再根据对任意的x₁∈[-1，2]，存在x₀∈[-1，2]，使g（x₁）=f（x₀），集合A是集合B的子集，并列出不等式，解此不等式组即可求得实数a的取值范围，注意条件a＞0．
点评：此题是个中档题．考查函数的值域，难点是题意的理解与转化，体现了转化的思想．同时也考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．