Question

直线L经过P（5，5），其斜率为k，L与圆x²+y²=25相交，交点分别为A，B．
（1）若|AB|=4

5

，求k的值；
（2）若|AB|＜2

7

，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由P坐标与k表示出直线L，表示出圆心到直线L的距离d，由d与r表示出弦长|AB|，根据已知的弦长即可求出k的值；
（2）由已知弦长的范围列出关于k的不等式，即可求出k的范围．

解答：解：（1）直线L方程为y-5=k（x-5），即kx-y+5-5k=0，
∵圆心（0，0）到直线L的距离d=

|5-5k|

k2+1

，r=5，且|AB|=4

5

，
∴|AB|=2

r2-d2

，即20=25-

(5k-5)2

k2+1

，
解得：k=

1

2

或k=2；
（2）由（1）得|AB|＜2

r2-d2

，即7＜25-

(5k-5)2

k2+1

，
解得：

1

7

＜k＜7．

点评：此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，垂径定理，勾股定理，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．