Question

1．如图，在圆内接梯形ABCD中，AB∥CD．过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E，若AB=AD=3，BE=2，
（1）求证：梯形ABCD为等腰梯形；
（2）求弦BD的长．

Answer 1

分析 （1）利用同弧所对的圆周角相等，证明∠CDB=∠DBA，可得CB=DA，即可证明梯形ABCD为等腰梯形；
（2）通过余弦定理求出∠BAE的余弦值，然后求解BD即可．

解答 （1）证明：∵AB∥CD，
∴∠CDB=∠DBA，
∴CB=DA，
∴梯形ABCD为等腰梯形． …（5分）
（2）解：由（1）可得CB=DA=3，AE²=BE•CE=10
∴cos∠DAB=-cos∠ABE=-$\frac{{3}^{2}+{2}^{2}-10}{2•3•2}$=-$\frac{1}{4}$
∴BD²=9+9-2•3•3•（-$\frac{1}{4}$）=$\frac{45}{2}$，
∴BD=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$．…（10分）

点评 本题考查同弧所对的圆周角相等，考查余弦定理的应用，考查学生分析问题解决问题的能力以及计算能力．