Question

已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，过F且斜率为直线与抛物线在x轴上方的交点为M，过M作y轴的垂线，垂足为N，O为坐标原点，若四边形OFMN的面积为．
（1）求抛物线的方程；
（2）若P，Q是抛物线上异于原点O的两动点，且以线段PQ为直径的圆恒过原点O，求证：直线PQ过定点，并指出定点坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）由抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F（，0），知过F且斜率为直线方程为y=，联立，得12x²-20px+3p²=0，解得M（），由此能求出抛物线的方程．
（2）①当直线PQ的斜率不存在时，设直线PQ的方程为y=x，x＞0，则x=2，解得x=4，直线PQ过定点（4，0）．
当直线PQ的斜率存在时，假设直线直线PQ过定点（4，0），则设直线PQ的方程为y=k（x-4），由此入手能够证明直线PQ恒过定点（4，0）．
解答：（1）解：∵抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F（，0），
∴过F且斜率为直线方程为y=，
联立，得12x²-20px+3p²=0，
解得x=，或x=，
∵直线与抛物线在x轴上方的交点为M，
∴M（），
∵过M作y轴的垂线，垂足为N，O为坐标原点，四边形OFMN的面积为，
∴=4，解得p=2，
∴抛物线的方程y²=4x．
（2）证明：①当直线PQ的斜率不存在时，设直线PQ的方程为y=x，x＞0，
则x=2，解得x=4，直线PQ过定点（4，0）．
②当直线PQ的斜率存在时，假设直线直线PQ过定点（4，0），则设直线PQ的方程为y=k（x-4），
联立，得k²x²-（8k²+4）x+16k²=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则，x₁x₂=16，
∴y₁+y₂=k（x₁-4）+k（x₂-4）=k（8+）-8k=，
y₁y₂=k（x₁-4）•k（x₂-4）
=k²[x₁x₂-4（x₁+x₂）+16]
=k²[16-4（8+）+16]=-16．
∴|PQ|=
=
=
=2．
∵线段PQ的中点A（4+，），
∴|AO|==．
∴以线段PQ为直径的圆恒过原点O．
即假设成立，故直线PQ恒过定点（4，0）．
点评：本题考查抛物线方程的求法，考查直线方程恒过定点的证明．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．