Question

（2013•资阳模拟）设f（x）是定义在实数集R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=-x²+4x．
（Ⅰ）求f（x）的解析式，并解不等式f（x）≥x；
（Ⅱ）设g（x）=2^x-1+m，若对任意x₁∈[-5，-1]，总存在x₂∈[2，5]，使f（x₁）=g（x₂），求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据奇函数的性质可知，f（0）=0，令x＜0，则-x＞0，代入当x＞0时，f（x）=-x²+4x中，即可得x＜0的解析式，将函数解析式写成分段函数的性质，分x≥0和x＜0两种情况，分别对应它们的解析式求解不等式f（x）≥x，求解即可得到不等式f（x）≥x的解集；
（Ⅱ）根据当-5≤x≤-1时，求得f（x）的解析式，从而得到x₁∈[-5，-1]时，f（x₁）∈[-4，5]，根据g（x）的单调性，即可得到g（x₂）∈[2+m，16+m]，将对任意x₁∈[-5，-1]，总存在x₂∈[2，5]，使f（x₁）=g（x₂），转化为[-4，5]⊆[2+m，16+m]，根据集合的子集的运算，列出不等式组，求解即可得到实数m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）是定义在实数集R上的奇函数，
∴当x=0时，f（x）=0，
设x＜0，则有-x＞0，
∵当x＞0时，f（x）=-x²+4x，
∴f（-x）=-x²-4x，
又∵f（x）为奇函数，
∴f（x）=-f（-x）=-[-（-x）²+4（-x）]=x²+4x，
∴f（x）的解析式为f(x)=

-x2+4x，x≥0 x2+4x，x＜0.

，
当x≥0时，不等式f（x）≥x即为-x²+4x≥x，解得0≤x≤3，
当x＜0时，不等式f（x）≥x即为x²+4x≥x，解得x≤-3，
故不等式f（x）≥x的解集是{x|x≤-3或0≤x≤3}；
（Ⅱ）∵f(x)=

-x2+4x，x≥0 x2+4x，x＜0.

，
∴当-5≤x≤-1时，f（x）=x²+4x=（x+2）²-4，
∴f（x）∈[-4，5]，
∴x₁∈[-5，-1]时，f（x₁）∈[-4，5]，
∵g（x）=2^x-1+m是R上的增函数，
∴当x₂∈[2，5]时，g（x₂）∈[2+m，16+m]，
∵对任意x₁∈[-5，-1]，总存在x₂∈[2，5]使f（x₁）=g（x₂），
∴[-4，5]⊆[2+m，16+m]，
∴

2+m≤-4 16+m≥5

，解得-11≤m≤-6，
故实数m的取值范围是[-11，-6]．

点评：本题考查了求函数的解析式，函数的恒成立问题，二次函数的性质．求函数解析式常见的方法有：待定系数法，换元法，凑配法，消元法等．对于二次函数要注意数形结合的应用，注意抓住二次函数的开口方向，对称轴，以及判别式的考虑．对于不等式的恒成立问题，一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法进行求解，函数的恒成立问题，经常转化为函数值域之间的子集关系，运用集合的运算进行求解．属于中档题．