Question

已知函数f（x）对任意实数x，y满足f（x）+f（y）=f（x+y）+3，f（3）=6，当x＞0时，f（x）＞3．
（1）判断f（x）在R上的单调性，并证明你的结论．
（2）是否存在实数a使f （a²-a-5）＜4成立？若存在求出实数a；若不存在，则说明理由．

Answer 1

分析：（1）令y＞0，则x+y＞x，根据已知中函数f（x）对任意实数x，y满足f（x）+f（y）=f（x+y）+3，当x＞0时，f（x）＞3易证得f（x+y）＞f（x），由增函数的定义，即可得到f（x）在R上单调递增；
（2）由已知中函数f（x）对任意实数x，y满足f（x）+f（y）=f（x+y）+3，f（3）=6，利用“凑”的思想，我们可得f（1）=4，结合（1）中函数f（x）在R上单调递增，我们可将f （a²-a-5）＜4转化为一个关于a的一元二次不等式，解不等式即可得到实数a的取值范围．

解答：解：（1）令y＞0，则x+y＞x
∵当x＞0时，f（x）＞3
∴f（y）＞3
又∵函数f（x）对任意实数x，y满足f（x）+f（y）=f（x+y）+3，当x＞0时，f（x）＞3
∴f（x）+f（y）=f（x+y）+3＞f（x）+3
即f（x+y）＞f（x）
故f（x）在R上单调递增；
（2）令x=1，y=1，则f（1）+f（1）=f（2）+3，
令x=2，y=1，则f（2）+f（1）=3f（1）-3=f（3）+3，
又∵f（3）=6，
∴f（1）=4
由（1）中f（x）在R上单调递增
则f （a²-a-5）＜4成立
若f （a²-a-5）＜f（1），
即a²-a-5＜1
解得：-2＜a＜3
故解集为{a|-2＜a＜3}

点评：本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数单调性的判断与证明，其中抽象函数“凑”的思想是解题的关键，如（1）中令y＞0，凑出x+y＞x，（2）中凑出f（1）=4．