【题目】某景区欲建两条圆形观景步道(宽度忽略不计),如图所示,已知,(单位:米),要求圆M与分别相切于点B,D,圆与分别相切于点C,D.
(1)若,求圆的半径;(结果精确到0.1米)
(2)若观景步道的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元,则当多大时,总造价最低?最低总造价是多少?(结果分别精确到0.1°和0.1千元)
【答案】(1)34.6米,16.1米;(2)263.8千元.
【解析】
(1)利用切线的性质即可得出圆的半径;
(2)设∠BAD=2α,则总造价y=0.82π60tanα+0.92π60tan(45°﹣α),化简,令1+tanα=x换元,利用基本不等式得出最值.
(1)连结M1M2,AM1,AM2,
∵圆M1与AB,AD相切于B,D,圆M2与AC,AD分别相切于点C,D,
∴M1,M2⊥AD,∠M1AD=∠BAD=,∠M2AD=,
∴M1B=ABtan∠M1AB=60×=20≈34.6(米),
∵tan==,∴tan=2﹣,
同理可得:M2D=60×tan=60(2﹣)≈16.1(米).
(2)设∠BAD=2α(0<α<),由(1)可知圆M1的半径为60tanα,圆M2的半径为
60tan(45°﹣α),
设观景步道总造价为y千元,则y=0.82π60tanα+0.92π60tan(45°﹣α)=96πtanα+108π,
设1+tanα=x,则tanα=x﹣1,且1<x<2.
∴y=96π(x﹣1)+108π()=12π(8x+﹣17)≥84π≈263.8,
当且仅当8x=即x=时取等号,
当x=时,tanα=,∴α≈26.6°,2α≈53.2°.
∴当∠BAD为53.2°时,观景步道造价最低,最低造价为263.8千元.
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【题目】已知实数,,对于定义在上的函数,有下述命题:
①“是奇函数”的充要条件是“函数的图像关于点对称”;
②“是偶函数”的充要条件是“函数的图像关于直线对称”;
③“是的一个周期”的充要条件是“对任意的,都有”;
④“函数与的图像关于轴对称”的充要条件是“”
其中正确命题的序号是( )
A.①②B.②③C.①④D.③④
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【题目】如图,长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=BC=4,BB1=2,点E、F、M分别为C1D1,A1D1,B1C1的中点,过点M的平面α与平面DEF平行,且与长方体的面相交,交线围成一个几何图形.
(1)在图1中,画出这个几何图形,并求这个几何图形的面积(不必说明画法与理由)
(2)在图2中,求证:D1B⊥平面DEF.
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【题目】在新冠肺炎疫情的影响下,南充高中响应“停课不停教,停课不停学”的号召进行线上教学,高二年级的甲乙两个班中,需根据某次数学测试成绩选出某班的5名学生参加数学竞赛决赛,已知这次测试他们取得的成绩的茎叶图如图所示,其中甲班5名学生成绩的平均分是83,乙班5名学生成绩的中位数是86.
(1)求出x,y的值,且分别求甲乙两个班中5名学生成绩的方差,并根据结
果,你认为应该选派哪一个班的学生参加决赛?
(2)从成绩在85分及以上的学生中随机抽取2名.求至少有1名来自甲班的概率.
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【题目】某校某班在一次数学测验中,全班N名学生的数学成绩的频率分布直方图如下,已知分数在110~120的学生有14人.
(1)求总人数N和分数在120~125的人数n;
(2)利用频率分布直方图,估算该班学生数学成绩的众数和中位数各是多少?
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【题目】某地级市共有中小学生,其中有学生在年享受了“国家精准扶贫”政策,在享受“国家精准扶贫”政策的学生中困难程度分为三个等次:一般困难、很困难、特别困难,且人数之比为,为进一步帮助这些学生,当地市政府设立“专项教育基金”,对这三个等次的困难学生每年每人分别补助元、元、元,经济学家调查发现,当地人均可支配年收入较上一年每增加,一般困难的学生中有会脱贫,脱贫后将不再享受“精准扶贫”政策,很困难的学生中有转为一般困难,特别困难的学生中有转为很困难.现统计了该地级市年到年共年的人均可支配年收入,对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中统计量的值,其中年份取时代表年,与(万元)近似满足关系式,其中,为常数.(年至年该市中学生人数大致保持不变)
其中,
(1)估计该市年人均可支配年收入;
(2)求该市年的“专项教育基金”的财政预算大约为多少?
附:对于一组具有线性相关关系的数据,,,,其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为,
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【题目】朱载堉(1536~1611),是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家,他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”.十二平均律是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制,各相邻两律之间的频率之比完全相等,亦称“十二等程律”.即一个八度13个音,相邻两个音之间的频率之比相等,且最后一个音是最初那个音的频率的2倍.设第三个音的频率为,第七个音的频率为,则=
A. B. C. D.
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