Question

已知，a∈R，f（x）为奇函数，且f（2x）=．
（1）求f（x）的反函数及其定义域；
（2）当x∈（r，k）时，f^-1（x）的值域为（-，+∞）　求k，r的值．

Answer 1

解：（1）∵f（2x）==．∴f（x）=
又因f（x）为奇函数，所以f（-x）+f（x）=0
即+==0恒成立，
∴a=1
∴f（x）=令t=2x，则t＞0，∴f（t）=
可得f（x）的值域为（-1，1），反解x可得x=log₂
即f^-1（x）=log₂，定义域为（-1，1）
（2）令y=log₂t，t=，又因y＞-
∴t＞结合t=的图象分析可得
解得k=3-2，r=-1
分析：（1）先求出函数f（x）的解析式，根据奇函数可求出a的值，求出函数值域即为反函数的定义域，然后反解出x，将x与y互换即可求出所求；
（2）根据函数的值域，结合函数的图象建立方程组，解之即可求出．
点评：本题主要考查了反函数，以及函数的基本性质，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．