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【题目】已知F为抛物线的焦点,F关于原点的对称点为,点M在抛物线C上,给出下列三个结论:

①使得为等腰三角形的点M有且仅有6

②使得的点M有且仅有2

③使得的点M有且仅有4

其中正确结论的个数为(

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【解析】

根据抛物线的性质对四个选项分别判断.

为等腰三角形,若,这样的点有两个,若,这样的点有两个,满足的点有一个但不能构成三角形.故点只有4个,①错;

,而,所以满足的点不存在,②错;

如图,作垂直于抛物线的准线(准线显然过点),垂足为,则,若,所以

,设直线的倾斜角为,其方程为,代入抛物线方程整理得:,此方程是两个相等实根,即直线与抛物线只有一个公共点,根据对称性,满足的点有两个,③错.

故选:A.

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