Question

一条生产线上生产的产品按质量情况分为三类：A类、B类、C类．检验员定时从该生产线上任取2件产品进行一次抽检，若发现其中含有C类产品或2件都是B类产品，就需要调整设备，否则不需要调整．已知该生产线上生产的每件产品为A类品，B类品和C类品的概率分别为0.9，0.05和0.05，且各件产品的质量情况互不影响．
（Ⅰ）求在一次抽检后，设备不需要调整的概率；
（Ⅱ）若检验员一天抽检3次，以ξ表示一天中需要调整设备的次数，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

解：（Ⅰ）设A_i表示事件“在一次抽检中抽到的第i件产品为A类品”，i=1，2．
B_i表示事件“在一次抽检中抽到的第i件产品为B类品”，i=1，2．
C表示事件“一次抽检后，设备不需要调整”．
则C=A₁•A₂+A₁•B₂+B₁•A₂．
由已知P（A_i）=0.9，P（B_i）=0.05 i=1，2．
∴所求的概率为P（C）=P（A₁•A₂）+P（A₁•B₂）+P（B₁•A₂）
=0.9²+2×0.9×0.05=0.9．

（Ⅱ）∵检验员一天抽检3次，
以ξ表示一天中需要调整设备的次数则ξ的可能取值为0、1、2、3
由（Ⅰ）知一次抽检后，设备需要调整的概率为
=1-0.9=0.1，
依题意知，
ξ的分布列为
Eξ=np=3×0.1=0.3．
分析：（1）在一次抽检后，设备不需要调整表示两件都是A类产品或两件中最多有一件B类产品，共包括三种情况，这三种结果是互斥的，而一次测的两件产品质量相互之间没有影响．
（2）检验员一天抽检3次，以ξ表示一天中需要调整设备的次数，则ξ的可能取值为0、1、2、3，由题意知ξ～B（3，0.1），写出随机变量的分布列和期望．
点评：本题考查分布列和期望，这种类型是近几年高考题中经常出现的，考查离散型随机变量的分布列和期望，大型考试中理科考试必出的一道问题．