Question

从极点O引定圆ρ=2cosθ的弦OP，延长OP到Q，使

OP

PQ

=

2

3

，求点Q的轨迹方程，并说明所求轨迹是什么图形？

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：由圆ρ=2cosθ化为ρ²=2ρcosθ，可得（x-1）²+y²=1．由

OP

PQ

=

2

3

，可得

OP

=

2

5

OQ

，设Q（x，y），P（x₀，y₀），可得x0=

2

5

x，y0=

2

5

y，代入圆的方程即可得出．

解答： 解：由圆ρ=2cosθ化为ρ²=2ρcosθ，∴x²+y²=2x，即（x-1）²+y²=1．
∵

OP

PQ

=

2

3

，∴

OP

=

2

5

OQ

，
设Q（x，y），P（x₀，y₀），
则x0=

2

5

x，y0=

2

5

y，
代入(x0-1)2+

y

2 0

=1，可得(

2

5

x-1)2+(

2

5

y)2=1，化为(x-

5

2

)2+y2=

25

4

．
∴点Q的轨迹方程为(x-

5

2

)2+y2=

25

4

，表示以(

5

2

，0)为圆心，

5

2

为半径的圆．

点评：本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、向量运算、点的轨迹求法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．