Question

已知a>0，函数f(x)=ax-bx²,
（1）当b>0时，若对任意x∈R都有f(x)≤1，证明：a≤2；
（2）当b>1时，证明：对任意x∈[0, 1], |f(x)|≤1的充要条件是：b-1≤a≤2；
（3）当0<b≤1时，讨论：对任意x∈[0, 1], |f(x)|≤1的充要条件。

Answer 1

证明见解析

（1）证：依题设，对任意x∈R，都有f(x)≤1。∵f(x)=-b(x-)²+，∴f()=≤1，∵a>0, b>0, ∴a≤2。
（2）证：（必要性），对任意x∈[0, 1]，|f(x)|≤1-1≤f(x)据此可推出-1≤f(1)即a-b≥-1，∴a≥b-1。对任意x∈[0, 1]，|f(x)|≤1f(x)≤1，因为b>1，可推出f()≤1。即a·-≤1，∴a≤2，所以b-1≤a≤2。
（充分性）：因b>1, a≥b-1，对任意x∈[0, 1]，可以推出：ax-bx²≥b(x-x²)-x≥-x
≥-1，即：ax-bx²≥-1；因为b>1，a≤2，对任意x∈[0, 1]，可推出ax-bx²≤2-bx²≤1，即ax-bx²≤1，∴-1≤f(x)≤1。
综上，当b>1时，对任意x∈[0, 1], |f(x)|≤1的充要条件是：b-1≤a≤2。
（3）解：因为a>0, 0<b≤1时，对任意x∈[0, 1]。
f(x)=ax-bx²≥-b≥-1，即f(x)≥-1；
f(x)≤1f(1)≤1a-b≤1，即a≤b+1；a≤b+1f(x)≤(b+1)x-bx²≤1，即f(x)≤1。
所以，当a>0, 0<b≤1时，对任意x∈[0, 1]，|f(x)|≤1的充要条件是：a≤b+1.