Question

【题目】定义在R上的增函数y=f（x）对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求f（0）；
（2）求证：f（x）为奇函数；
（3）若f（k3x）+f（3x﹣9x﹣4）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：令x=y=0，得f（0+0）=f（0）+f（0），即f（0）=0
（2）解：证明：令y=﹣x，则f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x）=0，

即f（﹣x）=﹣f（x），∴函数f（x）是奇函数

（3）解：又函数f（x）在R上的是单调递增函数，

由f（k3x）+f（3x﹣9x﹣4）＜0，

得f（k3x）＜﹣f（3x﹣9x﹣4）=f（﹣3x+9x+4），

即k3x＜﹣3x+9x+4恒成立，

∴k＜ =3x+ ﹣1，

∵3x+ ﹣1≥2 ﹣1=4﹣1=3，

当且仅当3x= ，即x=log32时取等号，

∴k＜3，

即实数k的取值范围是（﹣∞，3）

【解析】（1）令x=y=0，进行求解，（2）利用函数奇偶性的定义，结合抽象函数，证明f（x）为奇函数；（3）利用函数的单调性和奇偶性解不等式即可．