Question

【题目】设AB=6，在线段AB上任取两点C、D（端点A、B除外），将线段AB分成三条线段AC、CD、DB．
（1）若分成的三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形（称为事件A）的概率；
（2）若分成的三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形（称为事件B）的概率；
（3）根据以下用计算机所产生的20组随机数，试用随机数模拟的方法，来近似计算（2）中事件B的概率， 20组随机数如下：

组别	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
X	0.52	0.36	0.58	0.73	0.41	0.6	0.05	0.32	0.38	0.73
Y	0.76	0.39	0.37	0.01	0.04	0.28	0.03	0.15	0.14	0.86

组别	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
X	0.67	0.47	0.58	0.21	0.54	0.64	0.36	0.35	0.95	0.14
Y	0.41	0.54	0.51	0.37	0.31	0.23	0.56	0.89	0.17	0.03

（X和Y都是0～1之间的均匀随机数）

Answer 1

【答案】
（1）解：若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度的所有可能为：

1，1，4；1，2，3；1，3，2；1，4，1；

2，1，3；2，2，2；2，3，1；

3，1，2；3，2，1；

4，1，1，

共10种情况，其中只有三条线段为2，2，2时能构成三角形

则构成三角形的概率p=

（2）解：由题意知本题是一个几何概型

设其中两条线段长度分别为x，y，

则第三条线段长度为6﹣x﹣y，

则全部结果所构成的区域为：

0＜x＜6，0＜y＜6，0＜6﹣x﹣y＜6，

即为0＜x＜6，0＜y＜6，0＜x+y＜6

所表示的平面区域为三角形OAB；

若三条线段x，y，6﹣x﹣y，能构成三角形，

则还要满足 ，即为 ，

所表示的平面区域为三角形DEF，

由几何概型知所求的概率为：P= =

（3）解：步骤如下：

①产生两组0～1之间的均匀随机数X、Y（题目给出）

②经平移和伸缩变换，a=6X，b=6Y，

③数出落在0＜x＜6，0＜y＜6，0＜6﹣x﹣y＜6的点（a，b）的个数N和落在0＜x＜3，0＜y＜3，0＜6﹣x﹣y＜6，6﹣x﹣y+y＞x，x+y＞6﹣x﹣y

的点（a，b）的个数N1，由已知中的20组随机数可数得N=13，N1=3

④由 = ，故P（B）= ．

【解析】（1）本题是一个古典概型，若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度的所有可能为：1，1，4；1，2，3；2，2，2共3种情况，其中只有三条线段为2，2，2时能构成三角形，得到概率．（2）本题是一个几何概型，设出变量，写出全部结果所构成的区域，和满足条件的事件对应的区域，注意整理三条线段能组成三角形的条件，做出面积，做比值得到概率．（3）根据随机数模拟的方法和步骤即可近似计算（2）中事件B的概率．
【考点精析】关于本题考查的几何概型，需要了解几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等才能得出正确答案．