Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c满足条件：f（2）=f（0）=0，且方程f（x）=x有两个相等实根．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）是否存在实数m、n（m＜n），使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[2m，2n]？如果存在，求出m、n的值；如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知可构造关于a、b、c的方程组，解之即可的函数解析式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）=-

1

2

x²+x=-

1

2

(x-1)2+

1

2

≤

1

2

，故2n≤

1

2

，故m＜n≤

1

4

，函数f（x）的对称轴为x=1，故f（x）在[m，n]单调递增，可得f（m）=2m，f（n）=2n，解之即可．

解答：解：（Ⅰ）由f（2）=f（0）=0可知，4a+2b+c=0，c=0，又f（x）=x有两个相等实根，
可得（b-1）²-4ac=0，可解得a=-

1

2

，b=1，c=0，
故f（x）的解析式为：f（x）=-

1

2

x²+x．
（Ⅱ）假设存在实数m、n（m＜n），使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[2m，2n]，
由（Ⅰ）可知f（x）=-

1

2

x²+x=-

1

2

(x-1)2+

1

2

≤

1

2

，故2n≤

1

2

，故m＜n≤

1

4

，
又函数f（x）的对称轴为x=1，故f（x）在[m，n]单调递增则有f（m）=2m，f（n）=2n，
解得m=0或m=-2，n=0或n=-2，又m＜n，
故m=-2，n=0．

点评：本题为二次函数在闭区间的最值问题，求对解析式并得出f（x）在[m，n]单调递增是解决问题的关键，属中档题．