Question

已知方向向量为

v

=(1，

3

)的直线l过椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦点以及点（0，-2

3

），椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上．
（1）求椭圆C的方程．
（2）是否存在过点E（-2，0）的直线m交椭圆C于点M、N，使△MON的面积为

2

3

6

，（O为坐标原点）？若存在，求出直线m的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆中心O（0，0）关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上，及直线l过椭圆焦点，确定几何量，即可求得椭圆C的方程；
（2）分类讨论，利用韦达定理，结合△MON的面积为

2

3

6

，即可求得结论．

解答：解：（1）直线l：y=

3

x-2

3

 ①，过原点垂直于l的直线方程为y=-

3

3

x ②
解①②得x=

3

2

．
∵椭圆中心O（0，0）关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上，
∴

a2

c

=2×

3

2

=3，…（3分）
∵直线l过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0），
∴c=2，a²=6，b²=2，故椭圆C的方程为

x2

6

+

y2

2

=1 ③…（6分）
（2）当直线m的斜率存在时，设m：y=k（x+2）代入③并整理得（3k²+1）x²+12k²x+12k²-6=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=-

12k2

3k2+1

，x₁x₂=

12k2-6

3k2+1

…（8分）
∴|MN|=

1+k2

|x₁-x₂|=

2 6 • 1+k2

3k2+1

，…（10分）
点O到直线m的距离d=

|2k|

1+k2

，…（11分）
∵△MON的面积为

2

3

6

，∴

2 6 • 1+k2

3k2+1

•

|2k|

1+k2

=

4

3

6

∴k=±

3

3

，此时m：y=±

3

3

(x+2)…（13分）
当直线m的斜率不存在时，m：x=-2，也有△MON的面积为

2

3

6

；
故存在直线m满足题意，其方程为x±

3

y+2=0或x=-2．…（14分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查三角形面积的计算，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．