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(理)已知函数f(x)=(m∈R,e=2.718 28…是自然对数的底数).

(1)求函数f(x)的极值;

(2)当x>0时,设f(x)的反函数为f-1(x),对0<p<q,试比较f(q-p)、f-1(q-p)及f-1(q)-f-1(p)的大小.

(文)已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d(b、c、d∈R且都为常数)的导函数为f′(x)=3x2+4x,且f(1)=7,设F(x)=f(x)-ax2(a∈R).

(1)当a<2时,求F(x)的极小值;

(2)若对任意的x∈[0,+∞),都有F(x)≥0成立,求a的取值范围并证明不等式a2-13a+39≥.

答案:(理)解:(1)∵当x>0时,f(x)=ex-1在(0,+∞)上单调递增,且f(x)=ex-1>0;

当x≤0时,f(x)=x3+mx2,此时f′(x)=x2+2mx=x(x+2m).

①若m=0时,f′(x)=x2≥0,则f(x)=x3在(-∞,0]上单调递增,且f(x)=x3≤0.又f(0)=0,可知函数f(x)在R上单调递增,无极值.

②若m<0,令f′(x)=x(x+2m)>0x<0或x>-2m(舍去).函数f(x)=x3+mx2在(-∞,0]上单调递增,同理,函数f(x)在R上单调递增,无极值.

③若m>0,令f′(x)=x(x+2m)>0x>0或x<-2m.函数f(x)=x3+mx2在(-∞,-2m]上单调递增,在(-2m,0]上单调递减.此时函数f(x)在x=-2m处取得极大值:f(-2m)=m3+4m3=m3>0;又f(x)在(0,+∞)上单调递增,故在x=0处取得极小值:f(0)=0.综上可知,当m>0时,f(x)的极大值为m3,极小值为0;当m≤0时,f(x)无极值.

(2)当x>0时,设y=f(x)=ex-1y+1=exx=ln(y+1).∴f-1(x)=ln(x+1)(x>0).①比较f(q-p)与f-1(q-p)的大小.记g(x)=f(x)-f-1(x)=ex-ln(x+1)-1(x>0).∵g′(x)=ex-在(0,+∞)上是单调递增函数,∴g′(x)>g′(0)=e0-=0恒成立.∴函数g(x)在(0,+∞)上单调递增.∴g(x)>g(0)=e0-ln(0+1)-1=0.当0<p<q时,有q-p>0,∴g(q-p)=eq-p-ln(q-p+1)-1>0.∴eq-p-1>ln(q-p+1),

即f(q-p)>f-1(q-p).①9分

②比较f-1(q-p)与f-1(q)-f-1(p)的大小.ln(q-p+1)-[ln(q+1)-ln(p+1)]=ln(q-p+1)-ln(q+1)+ln(p+1)

=ln=ln

=ln=ln[+1].

∵0<p<q,∴+1>1,故ln[+1]>0.∴ln(q-p+1)>ln(q+1)-ln(p+1),

即f-1(q-p)>f-1(q)-f-1(p).②

(注:也可用分析法或考查函数h(x)=ln(x-p+1)-ln(x+1)+ln(p+1),x∈(p,+∞).

求导可知h(x)在(p,+∞)上单调递增.∴h(x)>h(p)恒成立,而h(p)=0.∴h(x)>0在x∈(p,+∞)上恒成立.∵q∈(p,+∞),∴h(q)>0恒成立)∴由①②可知,当0<p<q时,有f(q-p)>f-1(q-p)>f-1(q)-f-1(p).12分

(文)解:(1)∵f′(x)=3x2+4x=3x2+2bx+c,∴b=2,c=0.∴f(x)=x3+2x2+d.

又∵f(1)=7,∴d=4.∴f(x)=x3+2x2+4.2分

∴F(x)=f(x)-ax2=x3+2x2+4-ax2=x3+(2-a)x2+4.则F′(x)=3x2+2(2-a)x.

由F′(x)=0求得x1=,x2=0.∵a<2,∴x1<x2.

当x变化时,F′(x)、F(x)的变化情况如下:

X

(-∞,)

(,0)

0

(0,+∞)

F′(x)

+

0

-

0

+

F(x)

增函数

极大值

减函数

极小值

增函数

∴当x=0时,F(x)取得极小值4.

(2)由(1)知F(x)=x3+(2-a)x2+4.∵F(x)≥0在[0,+∞)上恒成立当x∈[0,+∞)时,F(x)min≥0.

①若2-a>0,即a<2时,由(1)可知F(x)min=F(0)=4>0,符合题意;

②若2-a≤0,即a≥2时,由F′(x)=0求得x1=,x2=0,且x1>x2.

∴当x∈[0,+∞)时,F(x)min=F()≥0,即()3-(a-2)()2+4≥0,解不等式得2≤a≤5.综上所述,应有a≤5.

要证不等式a2-13a+39≥,只需证6-a+≥-(a-6)2+3.∵a≤5,∴6-a+≥2,

-(a-6)2+3≤2.(当a=5时,“=”成立)故a2-13a+39≥成立(当a=5时,“=”成立).

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AB
AD
=0
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2
x
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1
n
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2
n
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n-1
n
)
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1
a1
)(1-
1
a2
)
(1-
1
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)<
sinα
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