Question

已知函数f（x）=mx³-3（m+1）x²+（3m+6）x+1（m＜0）．
（1）函数f（x）在区间(0，

1

2

)上单调递增，在区间(

1

2

，1)上单调递减，求实数m的值；
（2）当x∈[-1，1]时，函数f（x）的图象上的任意一点切线的斜率恒大于3m，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求出导函数f'（x），根据函数f（x）在区间(0，

1

2

)上单调递增，在区间(

1

2

，1)上单调递减，可知x=

1

2

是函数的极值，从而f'（

1

2

）=0，解之即可求出m的值；
（2）本小问可转化成f'（x）=3mx²-6（m+1）x+3m+6＞3m在区间[-1，1]恒成立，即3mx²-6（m+1）x+6＞0在区间[-1，1]恒成立，将x=-1和x=1代入使之成立，即可求出m的范围．

解答：解：（1）f'（x）=3mx²-6（m+1）x+3m+6（1）
由题意得f′(

1

2

)=

3

4

m-3m-3+3m+6=0，所以m=-4．（6）
（2）f'（x）=3mx²-6（m+1）x+3m+6＞3m在区间[-1，1]恒成立，
即3mx²-6（m+1）x+6＞0在区间[-1，1]恒成立．（10）
设F（x）=3mx²-6（m+1）x+6＞0，则有

F(-1)=9m+12＞0 F(1)=-3m＞0

，解得-

4

3

＜m＜0．（14）

点评：本题主要考查了函数恒成立问题，以及利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查计算能力和分析问题的能力，属于基础题．