Question

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AD=1，BC=2，AB=3，P是AB上的一个动点，∠DPA=α，∠CPB=β． 
（1）求

PD

•

PC

最小值，并指出此时P点位置；
（2）求y=tan∠DPC取得最大值时

PD

•

PC

的值．

Answer 1

考点：平面向量的综合题

专题：计算题,平面向量及应用

分析：（I）以A为原点，AB所在直线为x轴，分别写出点A，B，C，D，P的坐标，利用数量积和二次函数的单调性，即可得出；
（II）利用两角和的正切公式，结合基本不等式即可得出．

解答： 解：（1）以A为原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系．
则A（0，0），B（3，0），C（3，2），D（0，1），
令P（x，0），0≤x≤3
有

PD

=（-x，1），

PC

=（3-x，2）
所以

PD

•

PC

=x²-3x+2=（x-1.5）²-0.25，…（3分）
当x=1.5时，

PD

•

PC

最小
此时P（1.5，0）为线段AB中点…（6分）
（2）由（1）知，

PD

•

PC

=x²-3x+2，tanα=

1

x

，tanβ=

2

3-x

…（8分）
∵∠DPC=π-β-α，
∴tan∠DPC=-tan（α+β）=

x+3

x2-3x+2

=

1

x+3+ 20 x+3 -9

≤

1

4 5 -9

=-（4

5

+9）（0≤x≤3），
当且仅当x+3=2

5

，即x=2

5

-3时取到等号，…（10分）
此时

PD

•

PC

=x²-3x+2=40-18

5

…（12分）

点评：熟练掌握数量积和二次函数的单调性、两角和的正切公式、基本不等式是解题的关键．