Question

【题目】设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=4an﹣p，其中p是不为零的常数．

（1）证明：数列{an}是等比数列；

（2）当p=3时，若数列{bn}满足bn+1=bn+an（n∈N*），b1=2，求数列{bn}的通项公式．

Answer 1

【答案】（1）见解析；

（2）见解析．

【解析】

试题分析：（1）通过Sn=4an﹣p，利用an=Sn﹣Sn﹣1，求出，利用等比数列的定义证明数列{an}是等比数列；

（2）当p=3时，若数列{bn}满足bn+1=bn+an（n∈N*），b1=2，推出，利用bn=b1+（b2﹣b′1）+（b3﹣b2）++（bn﹣bn﹣1），求数列{bn}的通项公式．

证明：（1）证：因为Sn=4an﹣p（n∈N*），则Sn﹣1=4an﹣1﹣p（n∈N*，n≥2），

所以当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=4an﹣4an﹣1，整理得．

由Sn=4an﹣p，令n=1，得a1=4a1﹣p，解得．

所以an是首项为，公比为的等比数列．

（2）解：因为a1=1，则，

由bn+1=an+bn（n=1，2，），得，

当n≥2时，由累加得bn=b1+（b2﹣b′1）+（b3﹣b2）+…+（bn﹣bn﹣1）=，

当n=1时，上式也成立．