Question

（2011•惠州模拟）已知函数f（x）=x³-3ax+b在x=1处有极小值2．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数g(x)=

m

3

f′(x)-2x+3在[0，2]只有一个零点，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（I）求导函数f'（x）=3x²-3a，利用函数f（x）=x³-3ax+b在x=1处有极小值2，可得

f′(1)=3-3a=0 f(1)=1-3a+b=2

，从而可求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）g(x)=

m

3

f′(x)-2x+3=

m

3

(3x2-3)-2x+3=mx2-2x-m+3，再进行分类讨论：当m=0时，g（x）=-2x+3，g（x）在[0，2]上有一个零点；当m≠0时，①若方程g（x）=0在[0，2]上有2个相等实根，即函数g（x）在[0，2]上有一个零点；②若g（x）有2个零点，1个在[0，2]内，另1个在[0，2]外，从而可求m的取值范围．

解答：解：（I）f'（x）=3x²-3a…（1分）
依题意有

f′(1)=3-3a=0 f(1)=1-3a+b=2

，…（3分）
解得

a=1 b=4

，…（4分）
此时f'（x）=3x²-3=3（x-1）（x+1），
x∈（-1，1），f'（x）＜0，x∈（1，+∞），f'（x）＞0，满足f（x）在x=1处取极小值
∴f（x）=x³-3x+4…（5分）
（Ⅱ）f'（x）=3x²-3
∴g(x)=

m

3

f′(x)-2x+3=

m

3

(3x2-3)-2x+3=mx2-2x-m+3…（6分）
当m=0时，g（x）=-2x+3，
∴g（x）在[0，2]上有一个零点x=

3

2

（符合），…（8分）
当m≠0时，
①若方程g（x）=0在[0，2]上有2个相等实根，即函数g（x）在[0，2]上有一个零点．
则

△=4-4m(-m+3)=0 0≤ 1 m ≤2

，得m=

3+ 5

2

…（10分）
②若g（x）有2个零点，1个在[0，2]内，另1个在[0，2]外，
则g（0）g（2）≤0，即（-m+3）（3m-1）≤0，解得m≤

1

3

，或m≥3…（12分）
经检验m=3有2个零点，不满足题意．
综上：m的取值范围是m≤

1

3

，或m=

3+ 5

2

，或m＞3…（14分）

点评：本题以函数的性质为载体，考查函数的解析式，考查导数知识的运用，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，综合性强．