Question

15．已知O为坐标原点，点M（1-$\sqrt{3}$cos2x，1），点N（1，a+sin2x）（x∈R）（a为常实数），且y=$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$，
（1）求y关于x的函数关系式y=f（x）；
（2）当x∈[0，$\frac{π}{4}$]时，f（x）的最大值是4，求a的值，并求此时x的值．

Answer 1

分析 （1）由向量的数量积和三角函数公式可得y=1+a+2sin（2x-$\frac{π}{3}$）；
（2）由x的范围可得2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]，由正弦函数的单调性可得．

解答 解：（1）∵点M（1-$\sqrt{3}$cos2x，1），点N（1，a+sin2x），
∴y=$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=1-$\sqrt{3}$cos2x+a+sin2x=1+a+2sin（2x-$\frac{π}{3}$）；
（2）∵x∈[0，$\frac{π}{4}$]，∴2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]，
∴当2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{6}$时，f（x）取最大值1+a+2×$\frac{1}{2}$=4，解得a=2，
解2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{6}$可得此时x=$\frac{π}{4}$．

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及向量的数量积和三角函数的最值，属基础题．