Question

【题目】设函数f（x）=aex﹣xlnx，其中a∈R，e是自然对数的底数．
（Ⅰ）若f（x）是（0，+∞）上的增函数，求a的取值范围；
（Ⅱ）若 ，证明：f（x）＞0．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f'（x）=aex﹣（1+lnx），f（x）是（0，+∞）上的增函数等价于f'（x）≥0恒成立．

令f'（x）≥0，得 ，令 （x＞0）．以下只需求g（x）的最大值．

求导得 ，

令 ， ，h（x）是（0，+∞）上的减函数，

又h（1）=0，故1是h（x）的唯一零点，

当x∈（0，1），h（x）＞0，g'（x）＞0，g（x）递增；

当x∈（1，+∞），h（x）＜0，g'（x）＜0，g（x）递减；

故当x=1时，g（x）取得极大值且为最大值 ，

所以 ，即a的取值范围是 ．

证明：（Ⅱ）f（x）＞0 ．

令F（x）= （x＞0），以下证明当 时，F（x）的最小值大于0．

求导得 = ．

①当0＜x≤1时，F'（x）＜0，F（x）≥F（1）=ae＞0；

②当x＞1时， ，令 ，

则G'（x）=ex ，又 = ，

取m∈（1，2）且使 ，即 ，则 ＜e2﹣e2=0，

因为G（m）G（2）＜0，故G（x）存在唯一零点x0∈（1，2），

即F（x）有唯一的极值点且为极小值点x0∈（1，2），又 ，

且 ，即 ，故 ，

因为 ，故F（x0）是（1，2）上的减函数．

所以F（x0）＞F（2）=1﹣ln2＞0，所以F（x）＞0．

综上，当 时，总有f（x）＞0

【解析】（Ⅰ）f'（x）=aex﹣（1+lnx），f（x）是（0，+∞）上的增函数等价于f'（x）≥0恒成立．令f'（x）≥0，得 ，令 （x＞0），求导得 ，令 ， ，由此能求出a的取值范围．（Ⅱ）f（x）＞0 ．令F（x）= （x＞0），当 时，F（x）的最小值大于0．由此利用导数性质能证明当 时，总有f（x）＞0．
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能得出正确答案．