Question

已知为直角梯形，,平面，
(1)求证：平面;
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

Answer 1

(1)详见解析；(2)锐二面角的余弦值为.

解析试题分析：(1)证明法一可建立空间直角坐标系利用平面PAB的法向量即可
证明法二：要证平面只要证BC⊥PA，而BC⊥PA由已知易得；
(2)先求平面PCD的法向量，再利用向量求二面角的公式即可
试题解析：
解：如图，以为原点建立空间直角坐标系，

可得。2分
(1)证明法一：因为，
所以,4分
所以,,平面，平面，
所以平面.6分
证明法二：因为平面，平面，所以,又因为=90°，即，,平面，平面，
所以平面.6分
(2)由(1)知平面的一个法向量，
设平面的法向量，
又,
且
所以
所以平面的一个法向量为
所以
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.12分
考点：1.线面垂直的证明；2.向量证明垂直问题；3.向量求二面角问题.