Question

6．以椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C，其左右焦点分别为F₁，F₂，已知点M（2，1），双曲线C上的点P（x₀，y₀）（x₀＞0，y₀＞0）满足$\frac{{\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{M{F_1}}}}{{|{\overrightarrow{P{F_1}}}|}}=\frac{{\overrightarrow{{F_2}{F_1}}•\overrightarrow{M{F_1}}}}{{|{\overrightarrow{{F_2}{F_1}}}|}}$，则${S_{△PM{F_1}}}-{S_{△PM{F_2}}}$=2．

Answer 1

分析 由题意求出双曲线方程，再由向量等式可得∠MF₁A=∠MF₁B，求出PF₁所在直线的斜率，得到PF₁所在直线的方程，联立直线方程和双曲线方程，求出P的坐标，进一步说明M为△PF₁F₂内切圆的圆心，然后由三角形面积差结合双曲线定义求得答案．

解答 解：如图，
由椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$，得a=3，$c=\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}=2$，
∴双曲线的实轴长为4，焦距长为6，双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{5}=1$．
由$\frac{{\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{M{F_1}}}}{{|{\overrightarrow{P{F_1}}}|}}=\frac{{\overrightarrow{{F_2}{F_1}}•\overrightarrow{M{F_1}}}}{{|{\overrightarrow{{F_2}{F_1}}}|}}$，可得
$\overrightarrow{M{F}_{1}}$在$\overrightarrow{P{F}_{1}}$与$\overrightarrow{{F}_{2}{F}_{1}}$方向上的投影相等，即|F₁A|=|F₁B|，
∴∠MF₁A=∠MF₁B，
而tan$∠M{F}_{1}A=\frac{MA}{{F}_{1}A}=\frac{1}{5}$，
∴tan∠PF₁A=$\frac{2tan∠M{F}_{1}A}{1-ta{n}^{2}∠M{F}_{1}A}$=$\frac{\frac{2}{5}}{1-\frac{1}{25}}=\frac{5}{12}$．
∴直线F₁P的方程为y=$\frac{5}{12}$（x+3），即5x-12y+15=0．
联立$\left\{\begin{array}{l}{5x-12y+15=0}\\{\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{5}=1}\end{array}\right.$，解得P（$3，\frac{5}{2}$），
∴PF₂⊥x轴，
又tan∠MF₂O=1，∴∠MF₂O=45°，即M为△PF₁F₂内切圆的圆心．
则${S_{△PM{F_1}}}-{S_{△PM{F_2}}}$=$\frac{1}{2}$（|PF₁|-|PF₂|）×1=$\frac{1}{2}×4=2$，
故答案为：2．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了向量在向量方向上的投影，考查计算能力，是中档题．