如图，已知点
是离心率为
的椭圆
：
上的一点，斜率为
的直线
交椭圆于
，
两点，且
、、三点互不重合．
（1）求椭圆的方程；（2）求证：直线
，
的斜率之和为定值．
（1）
；（2）详见解析
解析试题分析：（1）根据题意及
列方程组可得
的值。即可得此椭圆方程。（2）设出
的坐标及直线的方程与椭圆方程联立消掉
可得关于
的方程，根据题意可知判别式应大于0，根据韦达定理可得此方程的两根之和与两根之积。即点横坐标间的关系，代入直线方程，可得点纵坐标之间的关系。然后根据斜率公式可得斜率之和，将其化简问题即可得证。
试题解析：由题意，可得
，代入
得
，又， 2分
解得
，
，
，
所以椭圆的方程. 5分
(2)证明：设直线的方程为
，又
三点不重合，∴
，设
，
，
由
得
所以
① 
② 8分
设直线，的斜率分别为
，
，
则
(*) 10分
将①、②式代入(*)，
整理得
，
所以
，即直线
的斜率之和为定值
. 12分
考点：1椭圆的标准方程；2直线和圆锥曲线的位置关系问题；3定值问题。
阅读快车系列答案科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图已知抛物线
：
过点
，直线
交于
，
两点，过点
且平行于
轴的直线分别与直线和
轴相交于点
，
．
(1)求
的值；
(2)是否存在定点
，当直线过点时，△
与△
的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆
的短半轴长为
，动点
在直线
（
为半焦距）上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求以
为直径且被直线
截得的弦长为
的圆的方程；
（3）设
是椭圆的右焦点，过点作的垂线与以为直径的圆交于点
，
求证：线段
的长为定值，并求出这个定值．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆
经过点
，离心率为
．
（1）求椭圆
的方程；
（2）直线
与椭圆交于
两点，点
是椭圆的右顶点．直线
与直线
分别与
轴交于点
，试问以线段
为直径的圆是否过
轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
给定椭圆
：
，称圆心在原点
，半径为
的圆是椭圆的“准圆”.若椭圆的一个焦点为
，其短轴上的一个端点到
的距离为
.
（1）求椭圆的方程和其“准圆”方程；
（2）点
是椭圆的“准圆”上的动点，过点作椭圆的切线
交“准圆”于点
.
（ⅰ）当点为“准圆”与
轴正半轴的交点时，求直线的方程，
并证明
；
（ⅱ）求证：线段
的长为定值.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图；已知椭圆C:
的离心率为
，以椭圆的左顶点T为圆心作圆T:
设圆T与椭圆C交于点M、N.
（1）求椭圆C的方程；
（2）求
的最小值，并求此时圆T的方程;
（3）设点P是椭圆C上异于M,N的任意一点，且直线MP,NP分别与
轴交于点R，S，O为坐标原点。求证：
为定值.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知双曲线过点(3，－2)，且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)求以双曲线的右准线为准线的抛物线的标准方程．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，已知梯形ABCD中|AB|＝2|CD|，点E满足
＝λ
，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点．当
≤λ≤
时，求双曲线离心率e的取值范围．
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，椭圆
以
的长轴为短轴，且与
为坐标原点，点
、
分别在椭圆
，求直线
的方程.