Question

11．已知函数f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2cos²x-1，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的单调递增区间；
（3）当x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]时，实数m满足：m-f（x）≥0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）化简可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），由周期公式可得；
（2）解不等式2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得函数f（x）的单调递增区间；
（3）由x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]和三角函数的值域可得2sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，2]，要满足题意只需m大于等于f（x）的最大值2即可．

解答 解：（1）化简可得f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2cos²x-1
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∴函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π；
（2）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，
∴函数f（x）的单调递增区间为[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z；
（3）当x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]时，2x+$\frac{π}{6}$∈[0，$\frac{7π}{6}$]，
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，∴2sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，2]，
∴实数m满足：m-f（x）≥0恒成立，
∴只需m大于等于f（x）的最大值2
∴实数m的取值范围为[2，+∞）．

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的单调性和周期性以及值域，属中档题．