Question

20．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为锐角，|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{11}$，且$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$夹角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，则向量$\overrightarrow{b}$在$\overrightarrow{a}$方向上的投影为（　　）

• A． $\frac{5\sqrt{3}}{3}$
• B． 3
• C． 2或3
• D． -$\frac{\sqrt{3}}{3}$或$\frac{5\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 可由条件求出$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}{|}^{2}=14-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，进而得出$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$的值，并可由$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）={\overrightarrow{a}}^{2}-\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$和$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|•\frac{\sqrt{3}}{3}$建立关于$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$的方程，从而求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，根据投影的计算公式便可求出所求投影的值．

解答 解：根据条件，$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}{|}^{2}={\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}$=14$-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$；
∴$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{14-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$；
又∵$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）={\overrightarrow{a}}^{2}-\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=3-\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，
$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}＞$=$\sqrt{14-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$；
∴$3-\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=\sqrt{14-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$；
解得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=5$或$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=-1，
又∵向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为锐角，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=5$，
∴$\overrightarrow{b}$在$\overrightarrow{a}$方向上的投影为$|\overrightarrow{b}|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=|\overrightarrow{b}|•\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}=\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|}$=$\frac{5}{\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}}{3}$．
故选A．

点评 考查向量数量积的运算，以及要求$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$而求$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）^{2}$的方法，以及一元二次方程的解法，一个向量在另一个向量方向上投影的计算公式．