Question

现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为、、;已知乙项目的利润与产品价格的调整有关,在每次调整中价格下降的概率都是p(0＜p＜1),设乙项目产品价格在一年内进行2次独立的调整,记乙项目产品价格在一年内的下降次数为ξ,对乙项目每投资十万元,ξ取0、1、2时,一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元.随机变量ξ₁、ξ₂分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润.

(1)求ξ₁、ξ₂的概率分布和数学期望Eξ₁、Eξ₂;

(2)当Eξ₁＜Eξ₂时,求p的取值范围.

Answer 1

(1)解法一:ξ₁的概率分布为

ξ1	1.2	1.18	1.17
P

Eξ₁=1.2×+1.18×+1.17×=1.18.

由题设得ξ～B(2,p),则ξ的概率分布为

ξ	0	1	2
P	(1-p)2	2p(1-p)	p2

故ξ₂的概率分布为

ξ2	1.3	1.25	0.2
P	(1-p)2	2p(1-p)	p2

所以ξ₂的数学期望为

Eξ₂=1.3×(1-p)²+1.25×2p(1-p)+0.2×p²=-p²-0.1p+1.3.

解法二:ξ₁的概率分布为

ξ1	1.2	1.18	1.17
P

Eξ₁=1.2×+1.18×+1.17×=1.18.

设A_i表示事件”第i次调整,价格下降”(i=1,2),则

P(ξ=0)=P()P()=(1-p)²;

P(ξ=1)=P()P(A₂)+P(A₁)P()=2p(1-p);

P(ξ=2)=P(A₁)P(A₂)=p².

故ξ₂的概率分布为

ξ2	1.3	1.25	0.2
P	(1-p)2	2p(1-p)	p2

所以ξ₂的数学期望为

Eξ₂=1.3×(1-p)²+1.25×2p(1-p)+0.2×p²=-p²-0.1p+1.3.

(2)解:由Eξ₁＜Eξ₂,得

-p²-0.1p+1.3＞1.18(p+0.4)(p-0.3)＜0-0.4＜p＜0.3,

因为0＜p＜1,所以Eξ₁＜Eξ₂时,p的取值范围是0＜p＜0.3.