Question

已知函数f(x)=

2x

x+1

，数列{a_n}满足a₁=a（a≠-2，a∈R），an+1=f(an)(n∈N*)．
（Ⅰ）若数列{a_n}是常数列，求a的值；
（Ⅱ）当a₁=

2

3

时，记bn=

1

an

-1(n∈N*)，证明数列{b_n}是等比数列，并求出{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）若数列{a_n}是常数列，则a₂=a₁=a，即可求得a的值；
（Ⅱ）当a₁=

2

3

时，可求得

bn+1

bn

=

1

2

，利用等比数列的概念可证明数列{b_n}是等比数列，从而可求得{b_n}的通项公式．

解答：解：（Ⅰ）依题意得，a_n+1=

2an

an+1

，
∵a₁=a（a≠-2，a∈R），数列{a_n}是常数列，
∴a_n+1=a_n=a，
∴

2a

a+1

=a，
∴a=1或a=0（舍），
∴a=1；
（Ⅱ）证明∵a_n+1=

2an

an+1

，
∴

1

an+1

=

an+1

2an

=

1

2an

+

1

2

，
∴

1

an+1

-1=

1

2

（

1

an

-1），又b_n=

1

an

-1（n∈N^*），
∴b_n+1=

1

2

b_n，
∴

bn+1

bn

=

1

2

，又a₁=

2

3

，b₁=

1

a1

-1=

1

2

，
∴数列{b_n}是以

1

2

为首项，

1

2

为公比的等比数列，
∴b_n=

1

2

•(

1

2

)n-1=(

1

2

)n．

点评：本题考查等比关系的确定，考查等比数列的通项公式，证明数列{b_n}是等比数列是难点所在，考查转化与运算能力，属于中档题．