Question

如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4．DE∥BC，将△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使A₁D⊥CD，如图2．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面A₁DC；
（Ⅱ）若CD=2，求平面A₁BE与平面A₁BC所成二面角的大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,用空间向量求平面间的夹角

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由已知得AD=DE，A₁D⊥DE，从而A₁D⊥面BCDE，从而A₁D⊥BC，BC⊥CD，由此能证明BC⊥面A₁DC．（Ⅱ）以D为坐标原点，建立空间直角坐标系A-xyz，利用向量法能求出平面A₁BE与平面A₁BC所成二面角的大小为90°．

解答： （Ⅰ）证明：在△ABC中，∠C=90°，DE∥BC，
∴AD=DE，∴A₁D⊥DE．
又A₁D⊥CD，CD∩DE=D，∴A₁D⊥面BCDE．
由BC?面BCDE，得A₁D⊥BC，
BC⊥CD，CD∩BC=C，∴BC⊥面A₁DC．…5分
（Ⅱ）解：如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系A-xyz．
取A₁C的中点F，连DF，
则D（0，0，0），C（0，2，0），B（2，2，0），A₁（0，0，2），F（0，1，1），
∵AD=DC=2，∴DF⊥A₁C，
由（1）可知，DF⊥BC，从而DF⊥平面A₁BC，
∴

DF

为平面A₁BC的法向量，

DF

=（0，1，1），
又

A1B

=（2，2，-2），

BE

=（-1，-2，0），
设平面A₁BE的法向量为

n

=（x，y，z），
由

n • A1B =2x+2y-2z=0 n • BE =-x-2y=0

，取z=1，得

n

=（2，-1，1），
∵

n

•

DF

=0，
∴平面A₁BE与平面A₁BC所成二面角的大小为90°．…12分．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．