Question

已知定义域为R的函数y=f（x）对任意的实数x，y恒有f（x）+f（y）=f（x+y）且当x＞0时，f（x）＜0，又f（1）=-

1

3

，则y=f（x）在[-6，3]上的值域为

[-1，2]

．

Answer 1

分析：根据抽象函数的定义，可得函数y=f（x）是R上的奇函数且在R上是减函数．再用赋值法，结合题意与奇函数性质，算出f（3）=-1且（-6）=2，由此即可得到f（x）在[-6，3]上的值域．

解答：解：∵f（x）+f（y）=f（x+y）
∴取y=0，得f（x）+f（0）=f（x），解出f（0）=0
再取y=-x，得f（x）+f（-x）=f（0）=0
∴y=f（x）是R上的奇函数
当x₁＜x₂时，f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）＜0
∴f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂）-f（x₁）＜0，可得f（x₁）＞f（x₂）
由此，得到y=f（x）是R上的减函数
∵f（1）=-

1

3

，∴f（3）=f（1）+f（1）+f（1）=3×（-

1

3

）=-1
结合f（x）是奇函数，得f（-3）=1
∴f（-6）=f（-3）+f（-3）=2
再结合函数f（x）在[-6，3]上为减函数，得f（x）在[-6，3]上的最大值为f（-6）=2，最小值为f（3）=-1
∴y=f（x）在[-6，3]上的值域为[-1，2]
故答案为：[-1，2]

点评：本题给出抽象函数，求区间[-6，3]上的值域，着重考查了函数的奇偶性、单调性，用赋值法求抽象函数的值和函数值域求法等知识，属于中档题．