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    （2013•静安区一模）已知椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    的两个焦点为F1（-c，0）、F2（c，0），c2是a2与b2的等差中项，其中a、b、c都是正数，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为
    		3
    2
    ．
    （1）求椭圆的方程；
    （2）过点A作直线交椭圆于另一点M，求|AM|长度的最大值；
    （3）已知定点E（-1，0），直线y=kx+t与椭圆交于C、D相异两点．证明：对任意的t＞0，都存在实数k，使得以线段CD为直径的圆过E点．
    分析：（1）利用c2是a2与b2的等差中项，可得c2=a2-b2=
    a2+b2
    2
    ，设出直线方程，利用直线与原点的距离为
    		3
    2
    ，建立等式，求出几何量，即可求椭圆的方程；
    （2）设M的坐标，表示出|AM|2，即可求|AM|长度的最大值；
    （3）直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及以CD为直径的圆过E点，结合向量知识，即可得到结论．
    解答：（1）解：在椭圆中，由已知得c2=a2-b2=
    a2+b2
    2
    （1分）
    过点A（0，-b）和B（a，0）的直线方程为
    x
    a
    +
    y
    -b
    =1    ，即bx-ay-ab=0，
    该直线与原点的距离为
    		3
    2
    ，由点到直线的距离公式得：
    ab
    		a2+b2
    =
    		3
    2
    （3分）
    解得：a2=3，b2=1，所以椭圆方程为
    x2
    3
    +
    y2
    1
    =1    （4分）
    （2）解：设M（x，y），则x2=3（1-y2），|AM|2=x2+（y+1）2=-2y2+2y+4，其中-1≤y≤1（16分）
    当y=
    1
    2
    时，|AM|2取得最大值
    9
    2
    ，所以|AM|长度的最大值为
    3
    		2
    2
    （9分）
    （3）证明：将y=kx+t代入椭圆方程，得（1+3k2）x2+6ktx+3t2-3=0，
    由直线与椭圆有两个交点，所以△=（6kt）2-12（1+3k2）（t2-1）＞0，解得k2＞
    t2-1
    3
    （11分）
    设C（x1，y1）、D（x2，y2），则x1+x2=-
    6kt
    1+3k2
    ，x1•x2=
    3(t2-1)
    1+3k2
    ，
    因为以CD为直径的圆过E点，所以
    EC
    •
    ED
    =0    ，即（x1+1）（x2+1）+y1y2=0，（13分）
    而y1y2=（kx1+t）（kx2+t）=k2x1x2+tk(x1+x2)+t2，
    所以(k2+1)
    3(t2-1)
    1+3k2
    -(tk+1)
    6kt
    1+3k2
    +t2+1=0    ，解得k=
    2t2-1
    3t
    （14分）
    如果k2＞
    t2-1
    3
    对任意的t＞0都成立，则存在k，使得以线段CD为直径的圆过E点．(
    2t2-1
    3t
    )2-
    t2-1
    3
    =
    (t2-1)2+t2
    9t2
    ＞0    ，即k2＞
    t2-1
    3
    ．
    所以，对任意的t＞0，都存在k，使得以线段CD为直径的圆过E点．（16分）
    点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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