Question

如图正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面边长为a，在侧棱BB₁上截取BD=

a

2

，在侧棱CC₁上截取CE=a，过A，D，E作棱柱的截面．
（1）求证：截面ADE⊥侧面ACC₁A₁；
（2）求截面ADE与底面ABC所成的角．

Answer 1

分析：（1）取AE、AC的中点O、S，连接DO，OS，BS，证明OD⊥侧面ACC₁A₁，四边形OSBD是矩形，即可证明截面ADE⊥侧面ACC₁A₁；
（2）利用射影面面积与被射影面面积之比，求出求截面ADE与底面ABC所成的角的余弦值，然后求出角．

解答：解：（1）证明：取AE、AC的中点O、S，连接DO，OS，BS，
正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面边长为a，在侧棱BB₁上截取BD=

a

2

，
在侧棱CC₁上截取CE=a，
易得四边形OSBD是矩形，并且SB⊥侧面ACC₁A₁，
即OD⊥侧面ACC₁A₁
所以截面ADE⊥侧面ACC₁A₁；
（2）截面ADE与底面ABC所成的角为θ
所以cosθ=

S△ABC

S△ADE

=

1 2 AC•SB

1 2 AE•OD

=

AC

AE

=

2

2

θ=45°

点评：本题考查平面与平面垂直的判定，二面角的求法，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．