考点:数列的求和,数列递推式
专题:等差数列与等比数列
分析:(1)由2S
n=a
n+1-2
n+1+1,n∈N
*,分别取n=1,2时,可得a
2=2a
1+3,a
3=6a
1+13.利用a
1,a
2+5,a
3成等差数列,即可得出;
(2)当n≥2时,2a
n=2S
n-2S
n-1,化为
an+1=3an+2n,变形
an+1+2n+1=3(an+2n),利用等比数列的通项公式即可得出;
(3)由
an=3n-2n≥3
n-1.可得
≤,再利用等比数列的前n项和公式即可得出.
解答:
(1)解:∵2S
n=a
n+1-2
n+1+1,n∈N
*,
∴n=1,2时,2a
1=a
2-3,2a
1+2a
2=a
3-7,
∴a
2=2a
1+3,a
3=6a
1+13.
∵a
1,a
2+5,a
3成等差数列,
∴2(a
2+5)=a
1+a
3,
∴2(2a
1+8)=a
1+6a
1+13,
解得a
1=1.
(2)解:当n≥2时,2a
n=2S
n-2S
n-1=
an+1-2n+1+1-(an-2n+1),化为
an+1=3an+2n,
∴
an+1+2n+1=3(an+2n),a
1+2=3.
∴数列
{an+2n}是等比数列,
∴
an+2n=3n,
∴
an=3n-2n.
(3)证明:∵
an=3n-2n≥3
n-1.
∴
≤,
∴
+
+…+
≤1+++…+
=
=
(1-)<.
点评:本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推式的应用、“放缩法”,考查了推理能力与计算能力,属于难题.