Question

19．已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且$PA=AD=DC=\frac{1}{2}$，AB=1，M是PB的中点  
（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；
（Ⅱ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小．

Answer 1

分析 （I）以A为坐标原点AD长为单位长度，建立空间直角坐标系，证明DC⊥面PAD，可得面PAD⊥面PCD；
（Ⅱ）求出平面AMC、ABC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面AMC与平面ABC夹角的余弦值，再由反三角求得面AMC与面BMC所成二面角的大小．

解答 （Ⅰ）证明：以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，
∴A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，$\frac{1}{2}$）．
则$\overrightarrow{AP}$=（0，0，1），$\overrightarrow{DC}$=（0，1，0），
∵$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{DC}$=0，
∴AP⊥DC．
由题设知AD⊥DC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，
∴DC⊥面PAD．
又DC?面PCD，∴面PAD⊥面PCD；
（II）解：设平面PAC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
∵$\overrightarrow{AC}$=（1，1，0），$\overrightarrow{AM}$=（0，1，$\frac{1}{2}$）．
∴由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=x+y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AM}=y+\frac{1}{2}z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，2）．
∵平面ABC的法向量$\overrightarrow{AP}$=（0，0，1），
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{AP}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{AP}|}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴平面AMC与平面ABC夹角的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
则面AMC与面BMC所成二面角的大小为arccos$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查面面垂直，面面角，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．