Question

8．已知f（x）=lnx-ax+$\frac{1-a}{x}$-1（a为正实数）．
（1）设0＜a＜1，试讨论f（x）的单调性；
（2）设g（x）=x²-2bx+4，当a=$\frac{1}{4}$时，
（i）若对任意x₁∈（0，2），存在x₂∈[1，3]，使f（x₁）＞g（x₂），求实数b取值范围；
（ii）对于任意x₁，x₂∈（1，2]且x₁≠x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|＜λ|$\frac{1}{{x}_{1}}-\frac{1}{{x}_{2}}$|，求λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求f（x）的定义域，再求导f′（x）=$\frac{1}{x}$-a-$\frac{1-a}{{x}^{2}}$=$\frac{-a{x}^{2}+x+a-1}{{x}^{2}}$，从而在定义域内判断导数的正负，以确定函数的单调性；
（2）（i）由题意，当a=$\frac{1}{4}$时，函数f（x）在（0，1）上是减函数，（1，2）上是增函数，从而可得f_min（x）=f（1）=-$\frac{1}{2}$，从而化为2bx≥x²+$\frac{9}{2}$在[1，3]上有解，从而求得；
（ii）不妨设1＜x₁＜x₂≤2，从而可得f（x₂）+$\frac{λ}{{x}_{2}}$＜f（x₁）+$\frac{λ}{{x}_{1}}$，从而化为h（x）=f（x）+$\frac{λ}{x}$=lnx-$\frac{1}{4}$x+$\frac{3}{4x}$-1+$\frac{λ}{x}$在（1，2]是减函数，从而解得．

解答 解：（1）f（x）=lnx-ax+$\frac{1-a}{x}$-1的定义域为（0，+∞），
f′（x）=$\frac{1}{x}$-a-$\frac{1-a}{{x}^{2}}$=$\frac{-a{x}^{2}+x+a-1}{{x}^{2}}$，
令f′（x）=0可得x₁=1，x₂=$\frac{1}{a}$-1，x₁-x₂=$\frac{2a-1}{a}$，
①当0＜a＜$\frac{1}{2}$时，由f′（x）＞0得1＜x＜$\frac{1}{a}$-1，
故函数f（x）在（1，$\frac{1}{a}$-1）上是增函数，
同理，函数f（x）在（0，1），（$\frac{1}{a}$-1，+∞）上是减函数，
②当a=$\frac{1}{2}$时，f′（x）≤0恒成立，
故函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，
③当$\frac{1}{2}$＜a＜1时，由f′（x）＞0得$\frac{1}{a}$-1＜x＜1，
故函数f（x）在（$\frac{1}{a}$-1，1）上是增函数，
同理，函数f（x）在（0，$\frac{1}{a}$-1），（1，+∞）上是减函数；
（2）（i）由题意，当a=$\frac{1}{4}$时，
函数f（x）在（0，1）上是减函数，（1，2）上是增函数，
所以f_min（x）=f（1）=-$\frac{1}{2}$，
所以只需存在x∈[1，3]，使g（x）=x²-2bx+4≤-$\frac{1}{2}$，
即2bx≥x²+$\frac{9}{2}$在[1，3]上有解，
即2b≥x+$\frac{9}{2x}$在[1，3]上有解，
∵x+$\frac{9}{2x}$≥3$\sqrt{2}$，（当且仅当x=$\frac{9}{2x}$，即x=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$时，等号成立）；
故2b≥3$\sqrt{2}$，
故b≥$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
故实数b取值范围为[$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，+∞）；
（ii）不妨设1＜x₁＜x₂≤2，
∵函数f（x）在（1，2]上是增函数，函数y=$\frac{1}{x}$在（1，2]上是减函数，
∴|f（x₁）-f（x₂）|＜λ|$\frac{1}{{x}_{1}}-\frac{1}{{x}_{2}}$|可化为
f（x₂）-f（x₁）＜λ（$\frac{1}{{x}_{1}}-\frac{1}{{x}_{2}}$），
即f（x₂）+$\frac{λ}{{x}_{2}}$＜f（x₁）+$\frac{λ}{{x}_{1}}$，
设h（x）=f（x）+$\frac{λ}{x}$=lnx-$\frac{1}{4}$x+$\frac{3}{4x}$-1+$\frac{λ}{x}$，
故h（x）在（1，2]是减函数，
故h′（x）=$\frac{-\frac{1}{4}{x}^{2}+x+\frac{1}{4}-1-λ}{{x}^{2}}$≤0恒成立，
故λ≥-$\frac{1}{4}$x²+x-$\frac{3}{4}$=-$\frac{1}{4}$（x-2）²+$\frac{1}{4}$恒成立，
故λ≥$\frac{1}{4}$，
故λ的取值范围为[$\frac{1}{4}$，+∞）．

点评 本题考查了导数的综合应用及基本不等式的应用，同时考查了函数的单调性的定义的应用．