【答案】
分析：由题意再根据韦达定理列出a
n，a
n+1和b
n三者的关系式，再进行变形求出数列{a
n}和{b
n}的特点，对数列分组求和，再由0＜|c|＜1求极限不等式，最后求出c的值．
解答：解：∵对任意n∈N*，a
n与a
n+1恰为方程x
2-b
nx+c
n=0的两根，
∴a
n+a
n+1=b
n，a
n•a
n+1=c
n∴
=
=
=c．
∵a
1=1，∴a
1•a
2=a
2=c．
∴a
1，a
3，a
5，…，a
2n-1，构成首项为1，公比为c的等比数列，
a
2，a
4，a
6，…，a
2n，构成首项为c，公比为c的等比数列．
又∵任意n∈N*，a
n+a
n+1=b
n恒成立．
∴
=
=c．又b
1=a
1+a
2=1+c，b
2=a
2+a
3=2c，
∴b
1，b
3，b
5，…，b
2n-1，构成首项为1+c，公比为c的等比数列，
b
2，b
4，b
6，…，b
2n，构成首项为2c，公比为c的等比数列，
∵0＜|c|＜1，
c
n=0
∴
（b
1+b
2+b
3+…+b
n）=
（b
1+b
3+b
5+…）+
（b
2+b
4+…）
=
+
≤3．
解得c≤
或c＞1．
∵0＜|c|＜1，∴0＜c≤
或-1＜c＜0．
故c的取值范围是（-1，0）∪（0，
]．
点评：本题综合性强，涉及的知识面广．本题的关键在于根据韦达定理求出数列{a
n}和{b
n}的特点，进行数列分组求和，将题设中的极限不等式转化为关于c的不等式，显然“桥梁”应是一元二次方程根与系数的关系．
（b1+b2+…+bn）≤3，求c的取值范围．
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