Question

15．已知函数$f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}）$的部分图象如图所示，A、B、C分别是函数图象与x轴交点、图象的最高点、图象的最低点．若f（0）=$\sqrt{3}$，
且$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=$\frac{{π}^{2}}{8}$-8．则f（x）的解析式为（　　）

• A． f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）
• B． f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）
• C． f（x）=2sin（3x+$\frac{π}{3}$）
• D． f（x）=2sin（3x+$\frac{π}{6}$）

Answer 1

分析 由图可设A（a，0），函数f（x）=2sin（ωx+φ）的周期为T，则B（a+$\frac{T}{4}$，2），C（a+$\frac{3T}{4}$，-2），易求$\overrightarrow{AB}$=（$\frac{T}{4}$，2），$\overrightarrow{BC}$=（$\frac{T}{2}$，-4），利用向量的坐标运算，将已知$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=$\frac{{π}^{2}}{8}$-8坐标化整理，可求得T，从而可得ω的值，由f（0）=2sinφ=$\sqrt{3}$，又|φ|$＜\frac{π}{2}$，从而可解得φ的值，即可解得f（x）的解析式．

解答 解：设A（a，0），函数f（x）=2sin（ωx+φ）的周期为T，则B（a+$\frac{T}{4}$，2），C（a+$\frac{3T}{4}$，-2），
∴$\overrightarrow{AB}$=（$\frac{T}{4}$，2），$\overrightarrow{BC}$=（$\frac{T}{2}$，-4），
∵$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=$\frac{{π}^{2}}{8}$-8，
∴$\frac{{T}^{2}}{8}$-8=$\frac{{π}^{2}}{8}$-8，
整理得：T²=π²，
∴T=π，
解得：ω=$\frac{2π}{π}$=2，故有：f（x）=2sin（2x+φ），
∵f（0）=2sinφ=$\sqrt{3}$，可得sinφ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，又|φ|$＜\frac{π}{2}$，解得：φ=$\frac{π}{3}$．
∴f（x）的解析式为：2sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
故选：A．

点评 本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象解析式的确定，着重考查向量的数量积的坐标运算及其应用，属于中档题．