Question

已知函数f（x）=x²-2lnx
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求证：f（x）≥lnx-x+2．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出f′（x），在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，即得f（x）的单调区间；
（Ⅱ）构造函数g（x）=f（x）-（lnx-x+2）=x²-3lnx+x-2，问题转化为g（x）_min≥0，从而转化为函数最值问题求解．

解答：解：（Ⅰ）由题意知x＞0，f′（x）=2x-

2

x

=

2(x2-1)

x2

，令f′（x）=0，得x=-1（舍）或x=1，
当0＜x＜1时，f′（x）＜0，当x＞1时，f′（x）＞0，
所以f（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）．
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-（lnx-x+2）=x²-3lnx+x-2，
g′（x）=2x-

3

x

+1=

2x2+x-3

x

=

(2x+3)(x-1)

x

，
令g′（x）＞0，得x＞1，令g′（x）＜0，得0＜x＜1，
所以g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
所以g（x）_min=g（1）=0，
所以g（x）≥0，即f（x）≥lnx-x+2．

点评：本题考查应用导数研究函数的单调性、最值问题，考查分析问题解决问题的能力，考查转化思想．