Question

【题目】如图所示四棱锥P-ABCD平面，E为线段BD上的一点，且EB=ED=EC=BC,连接CE并延长交AD于F

(1)若G为PD的中点，求证：平面平面CGF；

(2)若BC=2,PA=3，求平面BCP与平面DCP所成锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；(2)

【解析】

（1）通过三角形全等证明∠FED＝∠FEA，推出EF⊥AD，证明FG∥PA．可得GF⊥AD，即可证明AD⊥平面CFG．然后证明平面PAD⊥平面CGF；

（2）以点A为坐标原点建立如图所示的坐标系，求出平面BCP的法向量，平面DCP的法向量利用向量的数量积求解平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值．

在中，，

故,

因为，∴，

从而有

∴，故． 又，

．又平面，

故平面，，

故平面.

又平面，∴平面平面.

（2）以点为坐标原点建立如图所示的坐标系，则

，

故，．

设平面的法向量，

则解得即

设平面的法向量，则

解得即．

从而平面与平面的夹角的余弦值为

，