【答案】
分析:(1)确定半长轴为2,利用x轴被曲线C
2:y=x
2-b截得的线段长等于C
1的长半轴长,可求b的值;
(2)①设直线的方程与抛物线方程联立,利用点M的坐标为(0,-1),可得k
MAk
MB=-1,从而得证;
②设直线的斜率为k
1,则直线的方程为y=k
1x-1,代入抛物线方程可得x
2=k
1x,从而可得点A的坐标、点B的坐标,进而可得S
1,同理可得S
2,进而可得比值,由此可得λ的取值范围.
解答:(1)解:由题意知:半长轴为2,则有2
=2 …(3分)
∴b=1 …(4分)
(2)①证明:由题意知,直线l的斜率存在,设为k,则直线的方程为y=kx.
与抛物线方程联立,消去y可得x
2-kx-1=0,…(6分)
设A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),则x
1,x
2是上述方程的两个实根,于是x
1+x
2=k,x
1x
2=-1.…(7分)
又点M的坐标为(0,-1),所以k
MAk
MB=
×
=
=-1…(9分)
故MA⊥MB,即MD⊥ME,故
…(10分)
②设直线的斜率为k
1,则直线的方程为y=k
1x-1,代入抛物线方程可得x
2=k
1x,解得x=0或x=k
1,则点A的坐标为(k
1,
) …(12分)
同理可得点B的坐标为
.
于是
=
=
直线的方程为y=k
1x-1,代入椭圆方程,消去y,可得(
)x
2-8k
1x=0,解得x=0或x=
,则点D的坐标为
; …(14分)
同理可得点E的坐标
于是S
2=
=
因此
,…(16分)
又由点A,B的坐标可知,k=
=
,平方后代入上式,
所以λ=
故λ的取值范围为[
). …(18分)
点评:本题考查椭圆的标准方程,考查直线与抛物线、椭圆的位置关系,考查三角形面积的计算,属于中档题.