Question

20．已知函数f（x）=4sin（$\frac{x}{3}$+$\frac{π}{6}$），f（3α+π）=$\frac{16}{5}$，f（3β+$\frac{5π}{2}$）=-$\frac{20}{13}$，其中α，β∈[0，$\frac{π}{2}$]，则cos（α-β）的值为（　　）

• A． $\frac{13}{65}$
• B． $\frac{15}{65}$
• C． $\frac{48}{65}$
• D． $\frac{63}{65}$

Answer 1

分析 由条件利用诱导公式求得cosα 和sinβ 的值，再利用同角三角函数的基本关系求得sinα和cosβ的值，利用两角和差的余弦公式求得cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ 的值．

解答 解：函数f（x）=4sin（$\frac{x}{3}$+$\frac{π}{6}$），f（3α+π）=4sin（α+$\frac{π}{2}$）=4cosα=$\frac{16}{5}$，
∴cosα=$\frac{4}{5}$．
∵f（3β+$\frac{5π}{2}$）=4sin（β+π）=-4sinβ=-$\frac{20}{13}$，
∴sinβ=$\frac{5}{13}$，
∵α，β∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴sinα=$\sqrt{{1-cos}^{2}α}$=$\frac{3}{5}$，cosβ=$\sqrt{{1-sin}^{2}β}$=$\frac{12}{13}$．
则cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=$\frac{4}{5}•\frac{12}{13}$+$\frac{3}{5}•\frac{5}{13}$=$\frac{63}{65}$，
故选：D．

点评 本题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系，两角和差的余弦公式的应用，属于基础题．