【题目】如图,四边形是正方形, 平面, // , , , 为的中点.
(1)求证: ;
(2)求证: //平面;
(3)求二面角的大小.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)
【解析】试题分析:(1)以为原点,分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系.求出相关点的坐标,通过计算,证明;(2)取的中点,连接,证明,然后证明平面;(3)求出平面的一个法向量,平面的法向量,利用空间向量的数量积求解二面角的余弦值.
试题解析:(1)证明:依题意, 平面,如图,以为原点,分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系.
依题意,可得, , , , , , ,因为, ,所以.
所以.
(2)证明:取的中点,连接.
因为, , ,
所以,所以.
又因为平面, 平面,
所以平面.
(3)解:因为, ,
,
所以平面,故为平面的一个法向量.
设平面的法向量为,
因为, ,
所以 即
令,得, ,故.
所以,所以二面角的大小为.
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【题目】已知圆C:.
(1)求经过点且与圆C相切的直线方程;
(2)设直线与圆C相交于A,B两点,若,求实数n的值;
(3)若点在以为圆心,以1为半径的圆上,距离为4的两点P,Q在圆C上,求的最小值.
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【题目】如图1,在△中,,分别为,的中点,为的中点,,.将△沿折起到△的位置,使得平面平面,如图2.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求直线和平面所成角的正弦值;
(Ⅲ)线段上是否存在点,使得直线和所成角的余弦值为?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
图1 图2
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【题目】某人在塔的正东方向沿着南偏西60°的方向前进40 m以后,望见塔在东北方向上,若沿途测得塔的最大仰角为30°,则塔高为________________m.
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【题目】已知圆C1:x2+y2=b2与椭圆C2:=1(a>b>0),若在椭圆C2上存在一点P,使得由点P所作的圆C1的两条切线互相垂直,则椭圆C2的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
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【题目】某市A,B,C,D四所中学报名参加某高校2015年自主招生考试的学生人数如下表所示:
中学 | A | B | C | D |
人数 | 40 | 30 | 10 | 20 |
该市教委为了解参加考试的学生的学习状况,采用分层抽样的方法从四所中学报名参加考试的学生中随机抽取50名参加问卷调查.则A,B,C,D四所中学抽取的学生人数分别为( )
A.15,20,10,5B.15,20,5,10
C.20,15,10,5D.20,15,5,10
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【题目】如图,已知三棱锥的三条侧棱, , 两两垂直, 为等边三角形, 为内部一点,点在的延长线上,且.
(Ⅰ)证明: ;
(Ⅱ)证明: ;
(Ⅲ)若,求二面角的余弦值.
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【题目】若数列共有k项,且同时满足,,则称数列为数列.
(1)若等比数列为数列,求的值;
(2)已知为给定的正整数,且,
①若公差为的等差数列是数列,求公差d;
②若数列的通项公式为,其中常数,判断数列是否为数列,并说明理由.
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