Question

（本题满分16分）
已知函数,.
（Ⅰ）若函数在时取得极值，求的值；
（Ⅱ）当时，求函数的单调区间.

Answer 1

（Ⅰ）
（Ⅱ）当a<-1时，函数f(x)的单调减区间为，
函数的单调增区间为.

解：（Ⅰ）
.            ……3分
依题意得, 经检验符合题意.      ……6分
（Ⅱ），设，
（1）当a=0时，f(x)=-e，f(x)在R上为单调减函数. ……8分
（2）当a<0时，方程=0的判别式为，
令, 解得a=0（舍去）或a=-1.
1°当a=-1时，，
即，
且f’(x)在x=-1两侧同号，仅在x=-1时等于，
则f(x)在R上为单调减函数.               ……10分
2°当-1<a<0时，，则恒成立，
即f’(x)<0恒成立，则f(x)在R上为单调减函数.  ……11分
3°a<-1时，，令g(x)=0，
方程有两个不相等的实数根
，
作差可知，
则当时，g(x)<0，f’(x)<0，f(x)在上为单调减函数；
当时，g(x)>0，f’(x)>0，
F(x)在上为单调增函数；
当时，g(x)<0，f’(x)<0，f(x)在上为单调减函数. ……15分
综上所述，当时，函数f(x)的单调减区间为R；当a<-1时，函数f(x)的单调减区间为，，函数的单调增区间为.       ……16分
思路分析：第一问利用依题意得, 经检验符合题意.
第二问中，，设，
（1）当a=0时，f(x)=-e，f(x)在R上为单调减函数. ……8分
（2）当a<0时，方程=0的判别式为，
令, 解得a=0（舍去）或a=-1.
构造函数讨论单调性。