Question

在数列{a_n}中，如果存在非零常数T，使得a_m+T=a_m对于任意的非零自然数m均成立，那么就称数列{a_n}的周期数列，其中T叫做数列{a_n}的周期．已知周期数列{x_n}满足，且x₁=1，x₂=a（a∈R，a≠0），当数列{x_n}的周期最小时，该数列前2012项和是________．

Answer 1

1342
分析：由x_n+1=|x_n-x_n-1|（n≥2，n∈N^*），且x₁=1，x₂=a（a∈R，a≠0），x₃=|x₂-x₁|=|1-a|．分类讨论，得到当a=1时，数列{x_n}=1，1，0，1，1，0，1，1，0…，它满足：x_m+3=x_m，即最小周期为3，它从第一项起，每三项之和为1+1+0=2，从而可得结论．
解答：∵x_n+1=|x_n-x_n-1|（n≥2，n∈N^*），且x₁=1，x₂=a（a∈R，a≠0），
∴x₃=|x₂-x₁|=|1-a|，
（1）当a≥1时，有x₃=a-1，x₄=|x₃-x₂|=|（a-1）-a|=1=x₁，x₅=|x₄-x₃|=|1-（a-1）|=|2-a|，
①当a≤2时，有x₅=2-a
此时，若x₅=x₂，即2-a=a，则a=1，就有x₁=x₄=1，x₂=x₅=1，x₃=0
则数列{x_n}为1，1，0，1，1，0，1，1，0…，它满足x_m+3=x_m，即最小周期为3
②当a＞2时，有x₅=a-2，
此时，若x₅=x₂，即a-2=a，显然是不可能的．
（2）当a＜1时，有x₃=|x₂-x₁|=|a-1|=1-a，x₄=|x₃-x₂|=|（1-a）-a|=|1-2a|
①当0＜a≤时，有x₄=1-2a，x₅=|x₄-x₃|=|（1-2a）-（1-a）|=|a|=a=x₂，
此时，若x₄=x₁，即1-2a=1，则a=0，与已知矛盾，不符合条件．
②当＜a＜1时，有：x₄=2a-1，x₅=|x₄-x₃|=|（2a-1）-（1-a）|=3|a-1|=3（1-a）
此时，若x₃=x₁，即1-a=1，则a=0，这与a≠0相矛盾．
若x₄=x₁，即2a-1=1，则a=1，这与a＜1相矛盾．
若x₅=x₁，那么即使其成立，其周期为4，也大于前面求出的最小周期3，也可以不考虑．
③当a＜0时，有x₄=1-2a，x₅=|x₄-x₃|=|（1-2a）-（1-a）|=|-a|=-a，
同样存在上述②的情况．
综上：当a=1时，数列{x_n}=1，1，0，1，1，0，1，1，0…，它满足：x_m+3=x_m，即最小周期为3，
它从第一项起，每三项之和为1+1+0=2，
∵=670…2，
∴数列的前2012项和S₂₀₁₂=670×2+2=1342．
故答案为：1342．
点评：本题考查数列的递推公式的应用，考查分类讨论思想的灵活运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．