Question

已知双曲线

(1)求直线L的斜率的取值范围，使L与C分别有一个交点，两个交点，没有交点.

(2)若Q(1,1)，试判断以Q为中点的弦是否存在，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）见解析；（2）不存在.

【解析】（1） 本题涉及到用方程来判断直线与双曲线的位置关系，一定要注意再利用判别式进行判断时，二次项系数不为零.

(2)本题求出直线方程后，要注意验证二次方程的判别式是否大于零，如果不大于零，就不存在，否则存在.

解：（1）解方程组

 消去得 

  当 ， 时 

  当时  

         由     得

         由     得

         由     得或

  综上知 ：

 时，直线与曲线有两个交点，

 时，直线与曲线切于一点，时，直线与曲线交于一点.

或直线与曲线C没有公共点.

（2）不存在

假设以Q点为中点的弦存在

（1）当过Q点的直线的斜率不存在时，显然不满足题意.

（2）当过Q点的直线的斜率存在时，设斜率为K

 联立方程两式相减得：

所以过点Q的直线的斜率为K=1

所以直线的方程为y=x即为双曲线的渐近线

与双曲线没有公共点

即所求的直线不存在.