Question

（2012•石家庄一模）已知点P在曲线y=e^x（e为自然对数的底数）上，点Q在曲线y=lnx上，则丨PQ丨的最小值是

2

．

Answer 1

分析：考虑到两曲线关于直线y=x对称，求丨PQ丨的最小值可转化为求P到直线y=x的最小距离，再利用导数的几何意义，求曲线上斜率为1的切线方程，从而得此距离

解答：解：∵曲线y=e^x（e自然对数的底数）与曲线y=lnx互为反函数，其图象关于y=x对称，
故可先求点P到直线y=x的最近距离d
设曲线y=e^x上斜率为1的切线为y=x+b，
∵y′=e^x，由e^x=1，得x=0，故切点坐标为（0，1），即b=1
∴d=

1

1+1

=

2

2

∴丨PQ丨的最小值为2d=

2

故答案为

2

点评：本题主要考查了互为反函数的函数图象的对称性，导数的几何意义，曲线的切线方程的求法，转化化归的思想方法